几何平均数是什么？

几何平均数（Geometric Mean）是数学中的一种重要概念，是指若干个正实数的积的 n 次方根，其中n是这些数的个数。几何平均数是对数据集的一种度量，能够反映数据集存在的平均变化率，常用于统计分析、金融投资等领域。本文将详细探讨几何平均数的定义、计算方法以及其在实际应用中的运用。

一、几何平均数的定义

几何平均数是一组正数的 n 个乘积每一个数的n次方根。其定义式如下：

设有n个正数a1、a2、.....、an，则这n个正实数的几何平均数G等于：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

将指数n常用于描述数据集的变化程度。举例来说，当n=2时，几何平均数成为一个数对的谐均值。当n=3时，则是三个数的立方根。

几何平均数可以用来评估一组数据的典型变化率。乘性增长或减少甚至可以通过视觉展现成为加性增长或减少。通过对称性的展开，几何平均数也可以定义为以下形式：

G=（a/1）x（b/a）x（c/b）......（n-1）/（n-2)

这种形式也可以证明几何平均数与其它平均数之间的关系，例如算术平均数和调和平均数。

二、几何平均数的计算方法

几何平均数的计算方法主要分为常规计算方法和对数计算方法。

1、常规计算方法

几何平均数的常规计算方法是简单地将乘积每一个数的n次方根相乘，即：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

例如，一个品种的股票在连续的 7 天内分别上涨了 5%、6%、8%、4%、3%、5% 和 2%。此时，7天内这个品种的收益率的几何平均数为：

G=((1 0.05)×(1 0.06)×(1 0.08)×(1 0.04)×(1 0.03)×(1 0.05)×(1 0.02))^1/7 - 1= 0.0453\approx 4.53\%

2、对数计算方法

有时，我们会使用对数计算方法来计算几何平均数。使用对数的好处是可以将乘法转换为加法，使得计算过程更加容易。对于乘积 a1×a2×……×an (ai>0) 而言，有：

ln(a1×a2×......×an)=ln a1 ln a2 ...... ln an

因此，上式中每个数取自然对数，即可进一步得到：

lnG = 1/n (lna1 lna2 ...... lnan)

从而通过取对数的方法，将乘法转换成了加法。计算几何平均数的过程就变成了将每个数依次取对数，然后将它们相加，最后再将它们的和除以n后得到几何平均数。即：

G=exp(1/n(lna1 lna2 ...... lnan))

例如，我们使用对数计算方法计算上面那个例子中，7天内股票的收益率的几何平均数。假设我们用对数计算方法，我们可以先计算出每日的收益率的自然对数，然后将相应的对数相加并除以7，最后再将结果求幂得到几何平均数。即：

ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.06)= 0.0578, ln(1 0.08)=0.0760,

ln(1 0.04)=0.0392, ln(1 0.03)=0.0296, ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.02)=0.0198

G=exp[(0.0488 0.0578 0.0760 0.0392 0.0296 0.0488 0.0198)/7]=1.0453

三、几何平均数在实际应用中的应用

1、金融领域的应用

金融领域是几何平均数最常见的应用场景之一。在金融投资中，几何平均数通常用于计算投资组合的回报率。例如，投资者拥有两项投资：一项投资的年回报率为15%，另一项投资的年回报率为25%。这两项投资的几何平均年回报率是：
(www.ws46.com)

G=[(1 0.15)×(1 0.25)]^0.5 - 1 = 19.1%

2、统计学中的应用

几何平均数在统计学中也有重要的应用。例如，好的统计方法会对易腐或不稳定的指标进行几何平均数或回归后的平均数计算，这样可以增强数据的稳定性，避免极端值对数据计算的影响。

3、环保与健康领域的应用

几何平均数也被广泛应用于一些环保和健康领域中的数据分析。例如，温室气体排放的平均增长率可以使用几何平均数来确定，以便更好地对排放趋势进行监测。同样，死亡率的几何平均数可用于确定有害物质或疾病的危险程度。

总结

几何平均数是对数据集中存在的平均变化率进行度量的一种方法。几何平均数是指若干个正实数的积的n次方根，在金融、统计和环保健康等领域有广泛的应用。几何平均数的计算方法包括常规计算法和对数计算法，其中对数计算法可以将乘法转换为加法，便于计算。