建立广义相对论场方程，爱因斯坦真的这么神吗

为了克服第一个困难，爱因斯坦提出了广义相对性原理。既然我们确实无法定义惯性系，那么我们就取消惯性系的特殊定位。广义相对性原理表明，物理定律在任何参考系都是相同的，例如光速不变原理在任何参考系都成立。虽然解决了惯性系难题，但随之而来的另一个问题是，如何处理惯性力？因为惯性力可能会附加一个新的效应，从而改变物理定律的形式。顺便说一下，当初爱因斯坦选择数学工具张量，是因为张量的形式在坐标变化下保持不变。

惯性力有两个特点：一是它不起源于物质间的相互作用，所以它没有反作用力；二是惯性力与物质的质量成正比，这导致爱因斯坦联想到万有引力，因为引力也与物体的质量成正比。这种相似性以及自由落体实验和马赫原理，让爱因斯坦猜想引力与惯性力的本质。
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事实上，在牛顿力学中，质量有两种。一种是惯性质量，也就是牛顿第二定律所定义的质量。还有一种是引力质量，也就是牛顿万有引力定律中的质量。在自由落体实验中，粗略地验证了这两种质量是相等的，但精度是不太理想的。牛顿用单摆实验在10^-3的精度内证明了两种质量相等，厄缶在1900年前后用扭摆在10^-8精度内验证相等，随着精度的越来越高，也没有显示出两者的差异。

爱因斯坦对此的理解是，引力质量和惯性质量是同一个东西，它表明了引力场与惯性场必须等效。于是，他提出了等效原理，又提出了电梯思想实验来对此进行解释。

得到了这些想法之后，接下来就是寻找合适的数学工具。爱因斯坦询问他的同学格罗斯曼，得到的回答是黎曼几何。黎曼几何描述了三种不同曲率的空间：一种是零曲率的欧式几何，另一种是正曲率的黎氏几何，最后一种是负曲率的罗氏几何。因此在1913年，爱因斯坦开始学习黎曼几何。

1915年，爱因斯坦和希尔伯特讨论过后不久，就给出了场方程。这里有一个小插曲，希尔伯特也在独立推导场方程，因此他们两人处于一种竞争状态。在爱因斯坦提交他的广义相对论论文的前5天，希尔伯特就已经发表了他的场方程。不过，希尔伯特最初给出的方程不是协变的，是有错误的。在他听完爱因斯坦的演讲后15天，他修改了自己的理论，才与爱因斯坦的场方程等价。