利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程

在这之后，科学家都在寻找更好的能最小化的量来解决物理上的难题，而拉格朗日率先有了突破。一个粒子从A点到B点，它会遵循怎样的路径？拉格朗日发现，粒子的动能和势能之差与光的最短时间原理有相似之处，粒子所走的路径始终遵循能量差最小化。

有了这个式子，当我们从牛顿力学转向拉格朗日力学时，在对多体系统的计算中，会发现计算量明显少了很多。最小作用原理不仅可以在经典物理中使用，在量子力学和相对论中也可以使用。在前面的文章中，我们已经推导了拉格朗日方程，也介绍了它在费曼路径积分中的应用，今天我们就用它在广义相对论下推导短程线/测地线。

首先，黎曼空间中A和B两点之间可以有无数条线，其中取极值的线称为短程线，线的长度为S：

引入标量型参量λ：

把拉格朗日量代入拉格朗日方程得到：

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所以，（1）式可化简为：

所以代入（2）式可继续变形为：

于是（3）式可继续写成：

这就是黎曼空间中的短程线/测地线方程，也就是广义相对论的运动方程，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”的下半句。顺便说一下，爱因斯坦场方程可以推导出这个运动方程，所以场方程和运动方程实际上是一个东西。