速降线的历史：从光类比到变分法

速降线问题是一个经典的变分问题，它问的是：在给定两个不同高度的点之间，什么样的曲线可以使一个沿着它滑下的物体用最短的时间到达另一个点？

这个问题在数学和物理学的发展中起了重要的作用，它激发了许多著名的数学家和物理学家的创造力和竞争力，也催生了变分法这一数学分支。本文将介绍速降线问题的历史和两种解法，一种是利用微积分和欧拉-拉格朗日方程，另一种是利用费马原理和光的折射定律。

问题的提出

速降线问题最早可以追溯到17世纪初，当时意大利物理学家伽利略在研究自由落体运动时，提出了一个类似的问题：如果一个物体从一个斜面上滑下，它会沿着什么样的斜面用最短的时间到达底部？伽利略错误地认为，这样的斜面是一条直线或者一段圆弧。他在1638年出版了《关于两门新科学的对话》，其中包含了他对这个问题的讨论和推理。

伽利略的错误没有被及时发现和纠正，直到1696年，瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上正式提出了速降线问题，并向全欧洲的数学家发出挑战，要求他们在六个月内给出正确的答案和证明。约翰·伯努利自己也给出了一个解答，但他没有公布，而是等待其他人的回应。

问题的解答

约翰·伯努利的挑战引起了轰动，很多数学家都参与了竞赛，其中包括他的哥哥雅各布·伯努利，德国数学家莱布尼茨，法国数学家洛必达，以及英国物理学家牛顿。他们都在截止日期前寄出了自己的解答，有些还用了化名或者匿名。其中牛顿是最晚收到挑战信的，据说他只用了一天就解决了问题，并写道：“我不想浪费我的时间来解决这样一个简单的问题。”

所有这些解答都得到了正确的结果，即速降线是一条摆线（又称旋轮线或圆滚线），也就是一个固定在平面上滚动的圆周上某一点所形成的轨迹。不过，他们使用了不同的方法来推导和证明这个结论。

雅各布·伯努利使用了最复杂和最一般的方法，他首先假设速降线是一条光滑的曲线，然后用微积分和变分法来求解使下滑时间最小的条件，得到了一个二阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，最后得到了旋轮线的参数方程。

这个方法虽然繁琐，但是却是一个通用的方法，可以用来解决其他类似的变分问题。雅各布·伯努利在这个过程中发现了变分法的一些基本原理，比如欧拉-拉格朗日方程，为后来的泛函分析奠定了基础。

约翰·伯努利、莱布尼茨和牛顿则使用了更简洁和更巧妙的方法，他们利用了费马原理，也就是光在两点之间传播时，走的路线是使时间最短的路线。他们把速降线问题转化为光的折射问题，即如果一个光线从一个折射率为n的介质进入另一个折射率为y的介质，它会沿着什么样的路径折射？根据费马原理和光的折射定律，可以得到一个一阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，也可以得到旋轮线的参数方程。这个方法虽然简单，但是却是一个特殊的方法，只适用于速降线问题，而不能推广到其他变分问题。

洛必达则使用了一种类似于约翰·伯努利的方法，但是更加直观和几何化。他把速降线问题看作是在一个平面上画一条曲线，使得从这条曲线上任意一点垂直落下的物体所需的时间都相等。他用微积分和几何法来求解这个条件，得到了一个一阶微分方程，再用三角函数来求解这个方程，也可以得到旋轮线的参数方程。这个方法虽然直观，但是却是一个特殊的方法，只适用于速降线问题，而不能推广到其他变分问题。

问题的意义

速降线问题不仅展示了数学家们的智慧和创造力，也促进了数学和物理学的发展。它是变分法的开端，也是最小作用量原理的先驱。它揭示了自然界中存在着一种最优化和最简化的倾向，也启发了人们寻找其他类似的极值问题和极值原理。它还表明了数学之间的联系和统一性，比如微积分、几何、力学、光学等领域都可以用来解决同一个问题。

它还激发了人们对旋轮线和其他曲线的兴趣和研究，比如著名的悬链线问题，即在两个固定点之间悬挂一条均匀柔软的链条或绳子时，它会形成什么样的曲线？这个问题也可以用变分法来求解，并且得到了一个双曲正弦函数作为答案。