对称与反对称：玻色子与费米子

玻色子和费米子是种特殊类型的难以区分的粒子，这意味着如果我们在一个特定的系统中，有两种相同类型的玻色子，我们绝对没有办法区分这两种粒子。这对这些粒子的行为有非常重要的影响，我们可以通过波函数来理解这种不可区分性的影响。

波函数基本上可以被认为是一个数学函数，它包含我们所知道的关于量子系统的所有信息。例如，如果这个系统仅由一个电子组成，那么根据系统的波函数，我们可以计算在空间中不同点找到该电子的概率。具体来说，如果我们对任何波函数取其平方模数，那么它与实验结果的概率直接相关。

我们现在考虑两个无法区分的粒子，并且我们采用该系统的波函数并对其进行平方。如果我们交换粒子A和B，波函数的平方应该看起来完全相同，因为我们不应该有任何方法知道哪个粒子是哪个。而如果我们交换这些粒子时波函数平方不相等，那么我们就可以区别这两个粒子。也就是该波函数的平方必须以这样的方式表现：|ψ(A,B)|²=|ψ(B,A)|²。

然后我们取这个数学表达式的平方根，我们会发现，方向为A,B的粒子波函数要么完全等于方向B,A的波函数，要么等于方向B,A的波函数前再加一个负号，即ψ(A,B)=±ψ(B,A)。所以我们在这里发现波函数代表两种不同类别的粒子：具有ψ(A,B)= ψ(B,A)波函数行为的粒子称为玻色子，具有ψ(A,B)=-ψ(B,A)波函数行为的粒子称为费米子。

基本上，我们会说玻色子在粒子交换下是对称的，意思是当我们交换粒子时波函数是相同的。而对于费米子，我们说波函数是反对称的，意味着当我们交换粒子时波函数变为负值。对称波函数与反对称波函数是玻色子和费米子之间差异的关键，我们将重点关注。

我们现在假设两个粒子都是玻色子，它们可以占据两个不同的能级，标记为0的能级是基态能级，标记为1的能级是稍高的能级。我们可以计算出系统中可能的波函数是什么样的，例如它可能看起来像这样：ψ=|0>|0>。当我们交换粒子时，这确实是一个对称波函数。这实际上意味着如果我们的两个粒子确实是玻色子，它们可以占据相同的状态。我们还可以构造另外两个波函数，它们看起来像这样：ψ=|0>|0>和ψ=|0>|1> |1>|0>。

如果我们的两个粒子是费米子，那么情况就不一样了。当我们交换粒子时，波函数必须变为负值。对于这种特殊的系统，波函数最终只能是这样：ψ=|0>|1>-|1>|0>。在这个系统中，费米子波函数只有这样时，我们交换两个粒子时波函数才会变为负值。

重要的是要注意这样一个事实，当我们对系统进行测量时，两个粒子在此波函数中不能处于相同状态。我们只能发现粒子A处于能级0和B在能级1，或者粒子A处于能级1和B在能级0。这与我们之前在两个玻色子系统中看到的不同，这是非常重要的玻色子和费米子之间的区别。

我们可以将这种逻辑扩展到多玻色子系统和多费米子系统。所有这些玻色子基本上都可以塌缩成一个能级，而费米子则不能这样做，它们必须占据不同的能级。

举一个费米子的例子，原子周围的电子不会全部塌陷到最低可用能级或任何一个能级。电子是费米子，我们看到随着原子核周围电子数量的增加，电子必须占据越来越高的能级，因为较低的能级已被完全占据。当然在这里我忽略了自旋这一小问题，它实际上是允许两个自旋相反的电子处于相同能级。

回到我们的玻色子，它们都可以占据相同的能级，这一事实就允许我们有一种由玻色子组成的密度相当低的气体。并且当我们将其冷却到足够低的温度时，通常会发生爱因斯坦凝聚，所有这些玻色子都会塌缩到一个最低能级，这就是玻色-爱因斯坦凝聚体。

当我们有玻色-爱因斯坦凝聚体时，我们往往会看到一些相当有趣的效应，科学家们经常喜欢将其描述为能够在宏观层面上看到的量子力学效应。而通常量子效应很难看到，它们仅限于小得多的尺度，但对于玻色-爱因斯坦凝聚，许多量子力学效应变得显而易见，例如已经观察到超流性。