求解简单的薛定谔方程

我们经常可以看到薛定谔方程以许多不同的形式写成，每种形式对应于不同的物理或数学场景。但今天，我们将以最简单版本的薛定谔方程为例，讲述求解方程的过程。对于更复杂的薛定谔方程，求解过程的逻辑也是如此。

首先，我们先来了解这个方程。波函数用希腊字母ψ表示，它用来描述我们所知道的特定量子系统的一切。例如，我们正在研究电子，波函数描述了我们在特定时间和特定空间找到电子的概率。

方程中的其他字母表示的是对波函数的限制。方程左边的第一项描述了电子的动能，第二项描述了电子的势能：在自由空间中势能V=0，但是如果我们将电子放置在带电金属板附近，那么它的势能肯定不为零。方程右边的那一项可以看成电子的总能量。所以，薛定谔方程实际上是能量方程：动能 势能=总能量。
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同样值得注意的是，我们使用的是与时间无关的薛定谔方程，所以基本上总能量不会随时间变化，它是守恒的。我们设置的场景是，一个只能在一维方向上左右移动的粒子，而两端是无限厚的墙壁，这样就能避免量子隧穿这一复杂的情况。此外，两个墙壁之间的势能V=0。

现在，在这种最简单的情景中，我们可以将薛定谔方程进一步很化简：

接下来，我们可以把这个二阶微分方程改变成物理人更为熟悉的形式，并用k代替那一堆复杂的字母组合。

很显然，我们就可以写出它的解：

如果不放心，可以将解带回原方程进行验证。接下来，我们要考虑的是，波函数要满足边界条件，也就是在墙壁处波函数为零。在x=0处，我们可以得到波函数ψ=0。在x=a处，sin(ka)=0，为了使它成立，ka必须等于π的正整数倍，于是我们有：

在这里，我们看到的能量是一种量子化的量子现象，我们发现只有特定的波函数才能存在，而特定的波函数对应于特定的能量。