用两种方法推导爱因斯坦的质能方程

作为CEO的张朝阳手推质能方程，把物理学推上了热搜。今天，我们也用两种方法来推导质能方程。

第一种方法

首先，质量的相对论公式为：

利用泰勒展开公式把右边项展开，得到：

事实上，当速度v较小时，右边可以只保留两项，我们可以得到：

上式看起来是不是很熟悉，右边第二项就是牛顿中的动能方程。为了解释上边式子的物理意义，爱因斯坦首先提出假设，物体的总能量等于质量与光速平方的乘积，即：

上面的式子就是著名的爱因斯坦质能关系的公式。其中mc是物体的静能，它是总能量的一部分，具有静止质能的物体都具有静能。
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第二种方法

我们还可以用第二种方法来理解爱因斯坦的质能方程。在狭义相对论中，动能定理仍然成立，但动能的形式有所不同。在力F的作用之下，它做的功等于动能的变化，所以我们有以下微分关系：

把质量的相对论公式和动量p=mv相结合，我们可以得到：

事实上，这就是能量与动量关系式的变体：

对上面的公式进行微分，得到：

代入最开始的公式，并进行积分可以得到：

如果我们取初态u=0，则最初的动能也为零，质量为m，最后我们可以得到：

把上式与第一种方法泰勒展开得到的式子相比，我们可以知道当v<

应用

质点的总能量E=mc是爱因斯坦的一个重要假设。因为质点的总能量是动能与静能之和，而动能是外界对质点所做的功，其结果是导致质点从静能mc增加到mc，或者说使质点从质量m增加到了质量m。这也就意味着，传递给质点的能量会引起质量质量的变化；反之，质点质量的变化将引起能量的变化。我们可以把这两者之间的关系用下面公式表示：

在这一物理过程中，若质量有一点变化，则对应的能量变化将是质量变化的c倍。因此，ΔE的值将是非常巨大的。我们经常把这一方程用在原子核的反应之中。在核聚变或核裂变中，静质量减少（这被称为质量亏损）会释放出巨大的能量，核弹和核反应堆就是根据这一原理制成的。

虽然质能关系最初是爱因斯坦的一种假设，但它在实践中已被证实，并为人类提供了一种利用能源的新方式。