晶体中电子和声子相互作用的一组新方程

今天，我们将讨论一篇最近发表在《物理评论X》上的论文，它提出了一种新的方法来研究电子和声子（晶格振动）之间的相互作用。这种相互作用是决定许多材料性质的重要因素，例如导电性、热导率、光学响应等。然而，要准确地描述电子和声子之间的相互作用是非常困难的，因为它涉及到多体量子理论和非平衡态物理学的复杂问题。

作者使用了一种称为原子理论的方法，它是基于第一性原理的计算方法，不需要任何经验参数或拟合数据。这种方法可以从头计算出电子和声子的波函数、能量、谱函数等物理量，以及它们之间的耦合强度、屏蔽效应等。

作者首先解决了一个基本问题，如何确定原子理论中的哈密顿量，即描述系统能量和动力学的数学表达式。他们指出，哈密顿量必须自洽地确定，以确保系统存在一个平衡态。如果不这样做，就会出现一些不一致或矛盾的结果。例如，如果使用一个固定的哈密顿量来计算系统的熵，就会发现熵随温度升高而减小，这显然违反了热力学第二定律。因此，作者提出了一种自洽方案，使得哈密顿量能够反映出电子和声子之间的相互作用，并且满足平衡态条件。

接下来，作者使用了一种称为格林函数的数学工具，来描述电子和声子在不同时间和空间点上的概率振幅。格林函数可以用来计算系统的各种物理量，例如电流、能谱、响应函数等。作者使用了一种称为图形法的技巧，来展开格林函数为一系列图形表示的项。每个图形表示了一种可能发生的过程，例如电子或声子之间的散射、吸收或发射等。作者识别出了一些关键的图形结构，来构造有效的近似方案，并且考虑了电子和声子之间的屏蔽效应。屏蔽效应是指电子或声子在介质中传播时，会受到其他电子或声子的影响，从而改变了它们的有效质量、能量和寿命等。

作者最终得到了一组方程，称为赫丁方程，它们描述了电子和声子在平衡态和非平衡态下的行为。赫丁方程是一个自洽方程组，它包括了电子和声子自能、屏蔽相互作用、极化和耦合等物理量。赫丁方程的一个重要特征是，它包含了一个称为埃伦费斯特图的项，它表示了电子和声子之间的耦合强度随时间变化的效应。这个效应在非平衡态下尤为重要，因为它导致了电子和声子之间的能量转换和相干振荡。

赫丁方程虽然是一个完整的理论，但是它很难在实际中应用，因为它涉及到复杂的积分运算。为了克服这个困难，作者利用了图形法的灵活性，生成了一个更简单的方程组，称为卡达诺夫-贝姆方程，它们描述了电子和声子的格林函数和原子位移随时间演化的规律。卡达诺夫-贝姆方程是一个微分方程组，它可以用数值方法来求解。作者还指出了如何使用一种称为保守近似的方法，来保证卡达诺夫-贝姆方程满足一些基本的物理原理，例如电荷守恒、能量守恒等。

最后，作者推导出了卡达诺夫-贝姆方程在长时间极限和稳态情况下的解析解。这种解法对于研究光伏和光电器件等领域有重要意义，因为它可以用来计算系统在外界驱动下达到的稳定状态。作者还发现了一个有趣的现象，即在没有时间反演对称性的材料中，声子色散关系会出现一种由相关效应引起的分裂。这种分裂可能会影响材料的热输运和热噪声等性质。